Lorsqu’il s’agit des grands problèmes mathématiques du XXIe siècle, les énigmes des puzzles ont été injustement négligées pendant trop longtemps. Tout cela change désormais grâce aux travaux de Madeleine Bonsma-Fisher, data scientist à l’Université de Toronto et de Kent Bonsma-Fisher, physicien quantique, qui ont résolu un problème qui tourmentait les énigmes du monde entier.
La question au cœur de leur démarche est la suivante : si vous disposez d’un puzzle de N pièces qui, une fois assemblées, remplissent une surface égale à Aa, combien d’espace occupent les pièces non assemblées. Ou en d’autres termes, « de quelle taille de table avez-vous besoin pour votre puzzle ? », qui, par coïncidence mathématique, est le titre de leur article sur ce sujet. La réponse, au moins sur un point, s’avère plutôt surprenante.
Pièces de puzzle
Les Bonsma-Fishers commencent par calculer la surface approximative d’une seule pièce du puzzle Ap, qui, selon eux, est la surface du puzzle assemblé divisée par le nombre de pièces.
Donc Ap = Aa/N. Et si cette forme est approximativement carrée, alors chaque côté a une longueur √Ap = √(Aa/N)
Ils imaginent alors qu’à l’état non assemblé, les pièces sont disposées aléatoirement et donc réparties comme des cercles de diamètre égal à leur plus grande dimension.
Ce diamètre est :
d = √(2Ap) = √(2Aa/N)
Les cercles peuvent notamment se regrouper dans un plan selon un motif hexagonal dans lequel chaque cercle est entouré de 6 autres. Les chercheurs soulignent qu’il y a trois cercles complets à l’intérieur d’un élément hexagonal puisque chacun des six cercles de bord contient 1/3 de l’aire d’un cercle, plus celui du centre. Cela signifie que l’aire d’un seul cercle lorsqu’il est emballé de cette manière est 1/3 de l’aire de l’hexagone Ah.
Ainsi, lorsqu’il y a N pièces occupant chacune une surface équivalente à Ah/3, on en déduit la formule suivante :
source : arxiv.org/abs/2312.04588
En d’autres termes, l’aire du puzzle non assemblé est l’aire du puzzle assemblé multipliée par √3 ≈ 1,73. C’est surprenant car cela ne dépend pas de N, le nombre de pièces.
Ainsi avant assemblage, un puzzle découpé en 20 pièces prendra le même espace que le même puzzle découpé en 1000 pièces. Les Bonsma-Fishers expliquent cela avec l’exemple suivant.
« Avec un petit nombre de grosses pièces, les écarts entre les pièces sont plus grands (l’espacement du réseau hexagonal est plus grand), mais cette surface est multipliée par un petit nombre de pièces. À l’inverse, pour de nombreux petits morceaux, l’espacement des treillis est plus petit mais il y a plus de morceaux », disent-ils. « Chaque élément du réseau est multiplié par N, mais il existe un facteur 1/N dans l’aire de chaque élément du réseau ; ceux-ci s’annulent, donnant un résultat final indépendant de N. »
Ils testent ensuite cette idée en mesurant la taille de divers puzzles à l’état assemblé et non assemblé. « Nous avons trouvé un accord étroit entre des mesures réalistes et nos prédictions théoriques sur un large éventail de zones de puzzle et de nombres de pièces », disent-ils.
C’est un travail intéressant, qui pourrait déboucher sur d’ici. Imaginez le même problème en trois dimensions, peut-être avec des blocs Lego qui doivent être assemblés en un modèle ou des acides aminés qui doivent être assemblés en une protéine.
La question se pose alors : quel volume d’espace est nécessaire pour contenir les pièces non assemblées avant de les assembler ?
Question quantique
En adoptant la même approche, imaginez qu’avant l’assemblage, chaque bloc Lego ou acide aminé soit orienté de manière aléatoire et qu’ils soient ainsi emballés comme des sphères. Le diamètre de la sphère est égal à la diagonale du cube que la pièce remplirait. Et ainsi de suite…. Nous laisserons au lecteur intéressé le soin de calculer une réponse ou une plage de réponses.
Cela peut être utile à toute personne transportant des briques Lego avant leur assemblage. Cela pourrait même être utile aux biologistes qui étudient les ressources nécessaires à l’assemblage des protéines (bien que la recherche quantique puisse jouer un rôle important dans le processus d’assemblage, ce qui pourrait modifier les résultats étant donné que les objets quantiques peuvent partager le même espace).
Mais la plus grande joie viendra sûrement des fanatiques des puzzles qui n’auront plus besoin de deviner la taille de la table dont ils ont besoin pour assembler leurs puzzles.
Réf : De quelle taille de table avez-vous besoin pour votre puzzle ? : arxiv.org/abs/2312.04588
